Чему равно энергия магнитного поля
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 67.1. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток , который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время равна
Если индуктивность соленоида не зависит от ), то и выражение (67.1) принимает вид
Проинтегрировав это выражение по в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля,
Работа (67.3) идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (67.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией
которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле (ср. эту формулу с выражением для энергии заряженного конденсатора; см. (29.2)).
Выражение (67.3) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против э.д.с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (67.4). Действительно, работа, совершаемая против э.д.с. самоиндукции, равиа
Проделав преобразования, подобные тем, которые привели нас к выражению (67.2), получим
что совпадает с (67.3). Работа (67.5) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Выражение (67.5) не учитывает той работы, которую источник э. д. с. затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников.
Выразим энергию магнитного поля (67.4) через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного (практически бесконечного) соленоида
(см. формулы (64.3) и (53.8)). Подставив эти значения L и в выражение (67.4) и произведя преобразования, получим
В § 50 было показано, что магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (67.6) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно найти, разделив W на V. Произведя это деление, получим
Воспользовавшись соотношением (52.14), формуле для плотности энергии магнитного поля можно придать вид
Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.
Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I . С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Ф=LI , причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=L dI . Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить работу dA =I dФ=LI dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,
W=LI 2 /2. (130.1)
Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.
Энергию магнитного поля можно пред-
ставить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай - однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим
Так как I =В l / ( 0 N) (см. (119.2)) и В= 0 H (см. (109.3)), то
где Sl =V - объем соленоида.
Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью
Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. оно относится только к пара- и диамагнетикам (см. § 132).
Контрольные вопросы
В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты Фарадея.
Что является причиной возникновения э.д.с. индукции в замкнутом проводящем контуре? Отчего и как зависит э.д.с. индукции, возникающая в контуре?
Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник
в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.
Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает э.д.с. индукции? индукционный ток?
Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?
Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.
Какова природа э.д.с. электромагнитной индукции?
Выведите выражение для э.д.с. индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите э.д.с. индукции
для обоих случаев,
В чем заключается физический смысл времени релаксации =L/R Докажите, что оно имеет
размерность времени.
Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышающего трансформатора.
Когда э.д.с. самоиндукции больше - при замыкании или размыкании цепи постоянного тока?
Какая физическая величина выражается в генри? Дайте определение генри.
В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух контуров? От чего они зависят?
Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнитного поля?
Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля?
Задачи
15.1. Кольцо из алюминиевого провода (=26 нОм м) помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А.
15.2. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно с частотой 300 мин -1 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь поперечного сечения катушки 100 см 2 . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с., индуцируемую в катушке. .
15.3. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром 0,3 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн.
15.4. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 0,4 Гн.
15.5. Два соленоида (индуктивность одного L 1 =0,36 Гн, второго L 2 = 0,64 Гн) одинаковой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов.
15.6. Автотрансформатор, понижающий напряжение с U 1 =5,5 кВ до U 2 =220 В, содержит в первичной обмотке N 1 = 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки R 2 =2 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R =13 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке трансформатора.
Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из соленоида с индуктивностью L, замкнутой через сопротивление R (рис. 3.13).
Пусть в соленоиде посредством электромагнитной индукции возбужден ток силой I (устройство, возбуждающее ток на рисунке не показано), и начиная с некоторого момента времени t 0 , контур предоставлен сам себе, то есть не испытывает никаких внешних воздействий. Ток I не может прекратиться мгновенно вследствие явления самоиндукции. Э.д.с. самоиндукции, возникающая при убывании тока в катушке, будет поддерживать ток I в течение некоторого времени. При этом э.д.с. самоиндукции совершит некоторую работу. Величина работы dA, совершаемой э.д.с. за малое время dt (с учетом формулы (2.36)), равна
dA = Е с Idt (3.34)
Если подставить в (3.34) значение э.д.с. самоиндукции, определяемое формулой (3.33), получим
dA = - LIdI (3.35)
За все время, пока ток спадает от своего начального значения I(t 0) до нуля, в контуре будет совершена работа А, равная
. (3.36) Эта работа пойдет на нагревание проводников, то есть она перейдет в тепло, выделившееся на сопротивлении R. В результате совершения этой работы магнитное поле в катушке исчезнет. Поскольку никаких других изменений, кроме выделения тепла в контуре не произойдет, мы можем сделать вывод, что указанная работа была совершена за счет энергии исчезнувшего магнитного поля. Таким образом, мы приходим к заключению, что любой проводник индуктивностью L, по которому протекает ток I, обладает энергией W, равной
W = LI 2 /2 (3.37)
Есть основания считать, что эта энергия заключена в магнитном поле, возбуждаемом вокруг этого проводника с током. Эту энергию можно выразить не только через силу тока и индуктивность проводника, но и через величины, характеризующие само магнитное поле. В рассмотренном нами примере индуктивность L соленоида согласно (3.32) равна μ 0 μn 2 V. Индукция В магнитного поля соленоида связана с величиной тока в нем соотношением (3.20)
B = m 0 μIN/l =μ 0 μIn,
Подставляя указанные выражения для L и I в (3.37), получим
Энергия магнитного поля соленоида сосредоточена там, где магнитное поле отлично от нуля, то есть внутри самой катушки. Объем, в котором распределена эта энергия, представляет собой внутренний объем катушки V. Можно ввести понятие плотности энергии магнитного поля w как энергию, сосредоточенную в единице объема:
(3.39)
Магнитное поле может быть охарактеризовано не только индукцией В, но и напряженностью Н. Используя (3.21) можно привести формулу (3.39) к простому виду