Яковлева Наталья Сергеевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МКОУ "Бунинская СОШ"
Населённый пункт: село Бунино, Солнцевский район, Курская область
Наименование материала: статья
Тема: "Методы решения заданий №20 ЕГЭ по математике базовый уровень"
Дата публикации: 05.03.2018
Раздел: полное образование

Единый государственный экзамен является на данный момент единственной

формой итоговой аттестации выпускников средней школы. А получение

аттестата о среднем образовании не возможно без успешной сдачи ЕГЭ по

математике. Математика является не только важным учебным предметом, но

и достаточно сложным. Математическими способностями обладают далеко

не все дети, а от успешной сдачи экзамена зависит их дальнейшая судьба.

Учителя выпускных классов снова и снова задают вопрос: «Как помочь

школьнику при подготовке к ЕГЭ и успешно его сдать?». Для того, чтобы

выпускник получил аттестат достаточно сдать математику базового уровня. А

успешность сдачи экзамена напрямую связана с тем, как учитель владеет

методикой решения различных задач. Вашему вниманию предлагаю примеры

решения задания №20 математика базовый уровень ФИПИ 2018 под

редакцией М.В. Ященко.

1 .На ленте по разные стороны от середине отмечены две полосы: синяя и

красная. Если ленту разрезать по красной полосе, то одна часть будет на 5 см

длиннее другой. Если ленту разрезать по синей полосе, то одна часть будет на

15 см длиннее другой. Найдите расстояние между красной и синей

полосами.

Решение:

Пусть а см расстояние от левого конца ленты до синей полосы, в см

расстояние от правого конца ленты до красной полосы, с см расстояние

между полосами. Известно, что если ленту разрезать по красной полосе, то

одна часть на 5 см длиннее другой, то есть а + с – в =5. Если разрезать по

синей полосе, то одна часть будет длиннее другой на 15 см, значит, в +с –

а=15. Сложим два равенство почленно: а+с-в+в+с-а=20, 2с=20, с=10.

2 . Среднее арифметическое 6 различных натуральных чисел равно 8. На

сколько нужно увеличить наибольшее из этих чисел, чтобы среднее

арифметическое стало на 1 больше.

Решение: Так как среднее арифметическое 6 натуральных чисел равно 8,

значит, сумма этих чисел равна 8*6=48. Среднее арифметическое чисел

увеличилось на 1 и стало равно 9, а количество чисел не изменилось, значит,

сумма чисел стане равной 9*6=54. Чтобы найти на сколько увеличилось одно

из чисел, нужно найти разность 54-48=6.

3. Клетки таблицы 6х5 раскрашены в черные и белые цвета. Пар соседних

клеток разного цвета 26, пар соседних клеток черного цвета 6. Сколько пар

соседних клеток белого цвета.

Решение:

В каждой горизонтали образуется 5 пар соседних клеток, значит, по

горизонтали всего будет 5*5=25 пар соседних клеток. По вертикали

образуется 4 пары соседних клеток, то есть всего пар соседних клеток по

вертикали будет 4*6=24. Всего образуется 24+25=49 пар соседних клеток. Из

них разного цвета 26 пар, черного 6 пар, следовательно белых пар будет 49-

26-6 = 17 пар.

Ответ: 17 .

4. На прилавке цветочного магазина стоят три вазы с розами: белая, синяя и

красная. Слева от красной вазы находится 15 роз, справа от синей вазы 12

роз. Всего в вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?

Решение: Пусть х роз находится в белой вазе, у роз – в синей, z роз – в

красной. По условию задачи в вазах 22 розы, то есть х+у+ z=22. Известно,

что слева от красной вазы, то есть в синей и белой 15 роз, значит, х+у=15. А

справа от синей вазы, то есть в белой и красной вазах 12 роз, значит х+ z= 12.

Получили:

Прибавим почленно 2-ое и 3-ье равенства: х+у+х+ z=27 или 22 +х=27, х=5.

5 .Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив

одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой-то

момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в 3 раза быстрее Маши.

Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение: Так как Маша и Медведь начали есть печенья и варенье

одновременно и закончили одновременно, причем ели один продукт, а затем

другой, и по условию задачи Медведь ест и то и другое в 3 раза быстрее, чем

Маша, значит Медведь поглощал еду в 9 раз быстрее Маши. Тогда пусть х

печений съела Маша, а Медведь 9х печений. Известно, что всего они съели

160 печений. Получим: х+9х=160, 10х=160, х=16, значит, медведь съел

16*9=144 печенья.

6. Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней

страницы перед выпавшими листами 352. Номер первой страницы после

выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке.

Сколько листов выпало?

Решение: Пусть х листов выпало, тогда количество выпавших страниц 2х, то

есть четное число. Номер первой выпавшей страницы 353. Разность между

номером первой выпавшей страницы и первой страницы после выпавших

должно быть четным числом, значит, номер после выпавших листов будет

523. Тогда количество выпавших листов будет равно (523-353):2=85.

7. Про натуральные числа А,В,С известно, что каждое из них больше 5, но

меньше 9. Загадали натуральное число, затем умножили на А, прибавили В и

вычли С. Получили 164. Какое число было задумано?

Решение: Пусть х загаданное натуральное число, тогда Ах+В-С=164, Ах=

164 – (В-С), так как числа А,В,С больше 5, но меньше 9, то -2≤В-С≤2,

значит, Ах= 166; 165; 164;163;162. Из чисел 6,7,8 только 6 является

Задание 20 Базовый уровень ЕГЭ

1)Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? (4-1 =3, утро 4 дня окажется на высоте 9м, и за день проползет 4м. Ответ: 4 )

2)Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Ответ: 7

3)Улит­ка за день за­ле­за­ет вверх по де­ре­ву на 3 м, а за ночь спус­ка­ет­ся на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка под­ни­мет­ся на вер­ши­ну де­ре­ва?Ответ:8

4) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? (Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий - 14. Если распилить палку по желтым - 5 кусков, следовательно, линий - 4. Если распилить по зеленым - 7 кусков, линий - 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии. Ответ: 25 )

5) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым - 7 кусков, а если по зелёным - 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Ответ : 21

6)На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, по­лу­чит­ся 10 кус­ков, если по жёлтым - 8 кус­ков, если по зелёным - 8 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов? Ответ : 24

7) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

За 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 10

8)В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

· за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

· за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая ? Ответ: 20

9) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы? Ответ: 10

10) В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 3 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 4 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 7 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 4 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лы были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 42 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лы? Ответ: 30

11) В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 4 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 5 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 8 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 5 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 45 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая? Ответ: 35

12)В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине? ( (50-28)+1=23 - долж­но быть ры­жи­ков. (50-24)+1=27 - долж­но быть груз­дей. Ответ: груздей в кор­зи­не 27 .)

13)В кор­зи­не лежит 40 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не? (Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (40-17)+1=24 - долж­но быть ры­жи­ков. (40-25)+1=16 24 .)

14) кор­зи­не лежит 30 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не? (Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (30-12)+1=19 - долж­но быть ры­жи­ков. (30-20)+1=11 - долж­но быть груз­дей. Ответ: ры­жи­ков в кор­зи­не 19 .)

15)В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (45-23)+1=23 - долж­но быть ры­жи­ков. (45-24)+1=22 - долж­но быть груз­дей. Ответ: ры­жи­ков в кор­зи­не 23 .)

16)В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Так как среди любых 11 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 10. Так как среди любых 16 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 15. А так как всего в корзине 25 грибов, то груздей ровно 10, а рыжиков ровно Ответ:15.

17)Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 4200 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1300 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 11 мет­ров?(Ответ: 117700)

18) Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3700 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1700 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 8 мет­ров? (77200 )

19) Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1600 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 мет­ров? (89100 )

20) Хо­зя­ин до­го­во­рил­ся с ра­бо­чи­ми, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3900 руб­лей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр будет пла­тить на 1200 руб­лей боль­ше, чем за преды­ду­щий. Сколь­ко руб­лей хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 6 мет­ров? (41400)

21) Тре­нер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 15 минут, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, про­ведённое на бе­го­вой до­рож­ке, на 7 минут. За сколь­ко за­ня­тий Ан­дрей про­ведёт на бе­го­вой до­рож­ке в общей слож­но­сти 2 часа 25 минут, если будет сле­до­вать со­ве­там тре­не­ра? (5 )

22) Тре­нер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 22 ми­ну­ты, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, про­ведённое на бе­го­вой до­рож­ке, на 4 ми­ну­ты, пока оно не до­стиг­нет 60 минут, а даль­ше про­дол­жать тре­ни­ро­вать­ся по 60 минут каж­дый день. За сколь­ко за­ня­тий, на­чи­ная с пер­во­го, Ан­дрей про­ведёт на бе­го­вой до­рож­ке в сумме 4 часа 48 минут? (8 )

23) В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду? (38 )

24)Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 3 капли, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли боль­ше, чем в преды­ду­щий. При­няв 30 ка­пель, он ещё 3 дня пьёт по 30 ка­пель ле­кар­ства, а потом еже­днев­но умень­ша­ет приём на 3 капли. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 20 мл ле­кар­ства (что со­став­ля­ет 250 ка­пель)? (2) сумму ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном, рав­ным 3, раз­но­стью, рав­ной 3 и по­след­ним чле­ном, рав­ным 30.; 165 + 90 + 135 = 390 ка­пель; 3+ 3(n -1)=30; n =10 и 27- 3(n -1)=3; n =9

25) Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 20 ка­пель, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли боль­ше, чем в преды­ду­щий. После 15 дней приёма па­ци­ент де­ла­ет пе­ре­рыв в 3 дня и про­дол­жа­ет при­ни­мать ле­кар­ство по об­рат­ной схеме: в 19-й день он при­ни­ма­ет столь­ко же ка­пель, сколь­ко и в 15-й день, а затем еже­днев­но умень­ша­ет дозу на 3 капли, пока до­зи­ров­ка не ста­нет мень­ше 3 ка­пель в день. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 200 ка­пель? (7 ) вы­пьет 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26)В ма­га­зи­не бы­то­вой тех­ни­ки объём про­даж хо­ло­диль­ни­ков носит се­зон­ный ха­рак­тер. В ян­ва­ре было про­да­но 10 хо­ло­диль­ни­ков, и в три по­сле­ду­ю­щих ме­ся­ца про­да­ва­ли по 10 хо­ло­диль­ни­ков. С мая про­да­жи уве­ли­чи­ва­лись на 15 еди­ниц по срав­не­нию с преды­ду­щим ме­ся­цем. С сен­тяб­ря объём про­даж начал умень­шать­ся на 15 хо­ло­диль­ни­ков каж­дый месяц от­но­си­тель­но преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков про­дал ма­га­зин за год? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) На по­верх­но­сти гло­бу­са фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 12 па­рал­ле­лей и 22 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ли­ли по­верх­ность гло­бу­са?

Ме­ри­ди­ан - это дуга окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щая Се­вер­ный и Южный по­лю­сы. Па­рал­лель - это окруж­ность, ле­жа­щая в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной плос­ко­сти эк­ва­то­ра. (13 · 22= 286)

28) На по­верх­но­сти гло­бу­са фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 17 па­рал­ле­лей и 24 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ли­ли по­верх­ность гло­бу­са? Ме­ри­ди­ан - это дуга окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щая Се­вер­ный и Южный по­лю­сы. Па­рал­лель - это окруж­ность, ле­жа­щая в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной плос­ко­сти эк­ва­то­ра. (18 · 24 = 432)

29)Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7? (2) Если бы усло­вие за­да­чи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­но де­ли­лось на 7?» То нужно было бы взять семь под­ряд иду­щих чисел.

30)Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 9? (2)

31)Про­из­ве­де­ние де­ся­ти иду­щих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен оста­ток? (0) Среди 10 под­ряд иду­щих чисел одно из них обя­за­тель­но будет де­лить­ся на 7, по­это­му про­из­ве­де­ние этих чисел крат­но семи. Сле­до­ва­тель­но, оста­ток от де­ле­ния на 7 равен нулю.

32)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 6 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат? ( куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.)

33)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 12 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат? (куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12; всего 13 точек.)

34)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 11 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат?(может ока­зать­ся в точ­ках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.)

35)Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 8 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат?

За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет, - чётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет восьми. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −8, −6, -2 ; −4, 0,2 , 4, 6, 8 всего 9 точек.

Сборник для подготовки к ЕГЭ (базовый уровень)

Прототип задания № 20

1. В об­мен­ном пункте можно со­вер­шить одну из двух операций:

За 2 зо­ло­тых монеты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну медную;

За 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну медную.

У Ни­ко­лая были толь­ко серебряные монеты. После не­сколь­ких посещений об­мен­но­го пункта се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 50 медных. На сколь­ко уменьшилось ко­ли­че­ство серебряных монет у Николая?

2. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 5 кусков, если по жёлтым - 7 кусков, а если по зелёным - 11 кусков. Сколь­ко кус­ков получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?

3. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

4. В кор­зи­не лежат 40 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

5. Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 4200 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1300 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 11 метров?

6. Улитка за день за­ле­за­ет вверх по де­ре­ву на 3 м, а за ночь спус­ка­ет­ся на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка под­ни­мет­ся на вер­ши­ну дерева?

7. На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

8. В кор­зи­не лежат 30 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

9.

1) за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;

2) за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

10. В ма­га­зи­не бы­то­вой тех­ни­ки объём про­даж хо­ло­диль­ни­ков носит се­зон­ный характер. В ян­ва­ре было про­да­но 10 холодильников, и в три по­сле­ду­ю­щих ме­ся­ца про­да­ва­ли по 10 холодильников. С мая про­да­жи уве­ли­чи­ва­лись на 15 еди­ниц по срав­не­нию с преды­ду­щим месяцем. С сен­тяб­ря объём про­даж начал умень­шать­ся на 15 хо­ло­диль­ни­ков каж­дый месяц от­но­си­тель­но преды­ду­ще­го месяца. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков про­дал ма­га­зин за год?

11. В кор­зи­не лежит 25 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

12. Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 10 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 42 очка, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

13. Кузнечик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за один прыжок. Куз­не­чик на­чи­на­ет пры­гать из на­ча­ла координат. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной прямой, в ко­то­рых куз­не­чик может оказаться, сде­лав ровно 11 прыжков?

14. В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух операций:

· за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну медную;

· за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну медную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные монеты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 100 медных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Николая?

15. В кор­зи­не лежит 45 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 23 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

16. Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3700 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1700 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 8 метров?

17. Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 20 капель, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма па­ци­ент де­ла­ет пе­ре­рыв в 3 дня и про­дол­жа­ет при­ни­мать ле­кар­ство по об­рат­ной схеме: в 19-й день он при­ни­ма­ет столь­ко же капель, сколь­ко и в 15-й день, а затем еже­днев­но умень­ша­ет дозу на 3 капли, пока до­зи­ров­ка не ста­нет мень­ше 3 ка­пель в день. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 200 капель?

18. В кор­зи­не лежит 50 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 28 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко груз­дей в корзине?

19. Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в де­ся­том подъ­ез­де в квар­ти­ре № 333, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

20. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 5 золотых монеты получить 6 серебряных и одну медную;

2) за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 55 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

21. Тренер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 22 минуты, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, проведённое на бе­го­вой дорожке, на 4 минуты, пока оно не до­стиг­нет 60 минут, а даль­ше про­дол­жать тре­ни­ро­вать­ся по 60 минут каж­дый день. За сколь­ко занятий, на­чи­ная с первого, Ан­дрей проведёт на бе­го­вой до­рож­ке в сумме 4 часа 48 минут?

22. Каждую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бактерии. Известно, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?

23. В меню ре­сто­ра­на имеется 6 видов салатов, 3 вида пер­вых блюд, 5 видов вто­рых блюд и 4 вида десерта. Сколь­ко вариантов обеда из салата, первого, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать посетители этого ресторана?

24. Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 3 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые доползёт до вер­ши­ны дерева?

25. Сколькими спо­со­ба­ми можно по­ста­вить в ряд два оди­на­ко­вых крас­ных кубика, три оди­на­ко­вых зелёных ку­би­ка и один синий кубик?

26. Произведение де­ся­ти идущих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен остаток?

27. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

28. Список за­да­ний викторины со­сто­ял из 33 вопросов. За каж­дый правильный ответ уче­ник получал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 11 очков, а при от­сут­ствии ответа да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко верных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 84 очка, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

29. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель - это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

30. На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бензоколонки: A, B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B - 35 км, между A и C - 20 км, между C и D - 20 км, между D и A - 30 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую сторону). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C. Ответ дайте в километрах.

31. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)

32. В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

33. Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр - на 1600 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 метров?

34. Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в де­ся­том подъ­ез­де в квар­ти­ре № 333, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каж­дом этаже число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

35. Врач про­пи­сал пациенту при­ни­мать лекарство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен принять 3 капли, а в каж­дый следующий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. При­няв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 ка­пель лекарства, а потом еже­днев­но уменьшает приём на 3 капли. Сколь­ко пузырьков ле­кар­ства нужно ку­пить пациенту на весь курс приёма, если в каж­дом содержится 20 мл ле­кар­ства (что со­став­ля­ет 250 капель)?

36. Прямоугольник раз­бит на че­ты­ре мень­ших пря­мо­уголь­ни­ка двумя пря­мо­ли­ней­ны­ми разрезами. Пе­ри­мет­ры трёх из них, на­чи­ная с ле­во­го верх­не­го и далее по ча­со­вой стрелке, равны 24, 28 и 16. Най­ди­те пе­ри­метр четвёртого прямоугольника.

37. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б - 50 км, между А и В - 30 км, между В и Г - 25 км, между Г и А - 45 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

38. Нефтяная ком­па­ния бурит сква­жи­ну для до­бы­чи нефти, ко­то­рая залегает, по дан­ным геологоразведки, на глу­би­не 3 км. В те­че­ние ра­бо­че­го дня бу­риль­щи­ки про­хо­дят 300 мет­ров в глубину, но за ночь сква­жи­на вновь «заиливается», то есть за­пол­ня­ет­ся грун­том на 30 метров. За сколь­ко ра­бо­чих дней неф­тя­ни­ки про­бу­рят сква­жи­ну до глу­би­ны за­ле­га­ния нефти?

39. Группа ту­ри­стов преодолела гор­ный перевал. Пер­вый километр подъёма они пре­одо­ле­ли за 50 минут, а каж­дый следующий ки­ло­метр проходили на 15 минут доль­ше предыдущего. По­след­ний километр перед вер­ши­ной был прой­ден за 95 минут. После де­ся­ти­ми­нут­но­го отдыха на вер­ши­не туристы на­ча­ли спуск, ко­то­рый был более пологим. Пер­вый километр после вер­ши­ны был прой­ден за час, а каж­дый следующий на 10 минут быст­рее предыдущего. Сколь­ко часов груп­па затратила на весь маршрут, если по­след­ний километр спус­ка был прой­ден за 10 минут.

40. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 3 золотые монеты получить 4 серебряных и одну медную;

За 7 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медные. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

41. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколь­ко кус­ков получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?

42. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную;

2) за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

43. Кузнечик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за прыжок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной прямой, в ко­то­рых куз­не­чик может оказаться, сде­лав ровно 12 прыжков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла координат?

44. В бак объёмом 38 лит­ров каж­дый час, на­чи­ная с 12 часов, на­ли­ва­ют пол­ное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть не­боль­шая щель, и из неё за час вы­те­ка­ет 3 литра. В какой мо­мент вре­ме­ни (в часах) бак будет за­пол­нен полностью.

45. В кор­зи­не лежит 40 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

46. Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?

47. Кузнечик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за прыжок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной прямой, в ко­то­рых куз­не­чик может оказаться, сде­лав ровно 11 прыжков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла координат?

48. Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 13 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые доползёт до вер­ши­ны дерева?

49. На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса?

50. На по­верх­но­сти глобуса фло­ма­сте­ром проведены 12 па­рал­ле­лей и 22 меридиана. На сколь­ко частей проведённые линии раз­де­ли­ли поверхность глобуса?

Меридиан - это дуга окружности, со­еди­ня­ю­щая Северный и Южный полюсы. Па­рал­лель - это окружность, ле­жа­щая в плоскости, па­рал­лель­ной плоскости экватора.

Ответы к прототипу задания № 20

4. Ответ: 117700

14. Ответ: 77200

19. Ответ: 3599

29. Ответ: 89100